Figure 1
Matchstick Analogy — 三項の独立性
同一の編集コスト（EPC = 1）に対して、位相（Δβ₁）と情報（ΔH）は独立に変動する。
これはアナロジーではなく、geDIG の具体的インスタンスである。
F = EPC − λ (ΔH + γ · Δβ₁)
Case A
β₁ = 0
→
EPC 1 辺1本追加
Δβ₁ +1 ループ誕生
ΔH +0.4 経路選択肢↑
Aha! 洞察
Case B
β₁ = 0
→
β₁ = 0
EPC 1 辺1本追加
Δβ₁ 0 位相不変
ΔH +0.3 情報は増加
力仕事
Case C
→
β₁ = 0
EPC 1 辺1本削除
Δβ₁ −1 ループ消滅
ΔH −0.2 冗長性喪失
構造崩壊
KLダイバージェンスの盲点
全ケースで EPC = 1 だが、Δβ₁ は +1, 0, −1 に分岐する。
KLは測度（ΔH）しか見えないため、Case AとBを区別できない。
geDIG はこの三つを分解不能な原始量に還元する。
Figure 2
Pruning Paradox — なぜ削ると性能が上がるのか
中央ハブノードの除去は編集コストを払うが、冗長なサイクルを3つ消し、
構造を位相的に必要十分な状態に還元する。F が下がる＝効率が上がる。
Dense（剪定前）
冗長サイクル ×4
Sparse（剪定後）
必要十分なサイクル ×1
構造変化
ノード 5 → 4（−1）
エッジ 8 → 4（−4）
EPC 5（1node + 4edges）
F 分解
Δβ₁ 4 → 1（−3 サイクル）
ΔH 不均一 → 均一（↓）
F 大幅に低下 ↓↓
なぜ「削る＝性能向上」が起きるのか
Dense層は完全結合（K5的構造）であり、β₁が巨大。
大量の独立サイクルが存在するが、多くは同じ情報の冗長な経路。
剪定でβ₁を下げると、冗長経路が消えて信号が明確な経路に集中する。
過学習は「冗長なサイクルが訓練データのノイズを記憶する」現象であり、
β₁を適切に下げればノイズの記憶容量が物理的に減る。
Lottery Ticket Hypothesis: 「当たりチケット」とは、β₁が最小限でありながら
β₀ = 1（全体の接続性）を維持する部分グラフ。四角形がK5の中の当たりチケット。
| グラフ |
ニューラルネット |
F の挙動 |
| K5（完全結合） |
Dense層（全結合） |
β₁巨大、F高い、冗長 |
| 四角形（剪定後） |
Sparse層（剪定済み） |
β₁最小、F低い、効率的 |
| 木構造（β₁ = 0） |
過剰剪定 |
冗長性ゼロ、脆弱 |
最適剪定の原理
β₁ = 0（木構造）まで削ると冗長性がなくなり脆弱になる。
β₁ ≫ 1（完全結合）は冗長すぎてノイズを記憶する。
最適な剪定は β₁ を「必要十分な冗長性」に調整する操作 であり、
それは F を最小化する部分グラフの探索と等価。
Fig. 2: K5グラフ（Dense層）から中央ハブノードを除去すると、β₁ が 4→1 に低下し F が大幅に下がる。
これは NN 剪定で性能が向上するメカニズムの位相的説明であり、Lottery Ticket Hypothesis の
geDIG による再解釈を示す。